fork download
copy 
  1. $ARGV[0] =~s/[\d+]//g;
  2. print;
Success #stdin #stdout 0.01s 5292KB
comments (?)
stdin
copy 
Треуго́льник Рёло́[* 1] представляет собой область пересечения трёх равных кругов с центрами в вершинах правильного треугольника и радиусами, равными его стороне[1][2]. Негладкая замкнутая кривая, ограничивающая эту фигуру, также называется треугольником Рёло.
Треугольник Рёло является простейшей после круга фигурой постоянной ширины[1]. То есть если к треугольнику Рёло провести пару параллельных опорных прямых[* 2], то независимо от выбранного направления расстояние между ними будет постоянным[3]. Это расстояние называется шириной треугольника Рёло.

Среди прочих фигур постоянной ширины треугольник Рёло выделяется рядом экстремальных свойств: наименьшей площадью[1], наименьшим возможным углом при вершине[4], наименьшей симметричностью относительно центра[5]. Треугольник получил распространение в технике — на его основе были созданы кулачковые и грейферные механизмы, роторно-поршневой двигатель Ванкеля и даже дрели, позволяющие сверлить квадратные отверстия[6].
Название фигуры происходит от фамилии немецкого механика Франца Рёло. Он, вероятно, был первым, кто исследовал свойства этого треугольника; также он использовал его в своих механизмах[7].
Содержание  [убрать] 
1 История
2 Свойства
2.1 Основные геометрические характеристики
2.1.1 Симметрия
2.1.2 Построение циркулем
2.2 Свойства, общие для всех фигур постоянной ширины
2.3 Экстремальные свойства
2.3.1 Наименьшая площадь
2.3.2 Наименьший угол
2.3.3 Наименьшая центральная симметрия
2.4 Качение по квадрату
3 Применение
3.1 Сверление квадратных отверстий
3.2 Двигатель Ванкеля
3.3 Грейферный механизм
3.4 Крышки для люков
3.5 Кулачковый механизм
3.6 Каток
3.7 Плектр
4 Треугольник Рёло в искусстве
4.1 Архитектура
4.2 Литература
5 Вариации и обобщения
5.1 Многоугольник Рёло
5.2 Трёхмерные аналоги
6 Комментарии
7 Примечания
8 Литература
8.1 На русском языке
8.2 На английском языке
9 Ссылки
[править]История



Mappamundi. Леонардо да Винчи, примерно 1514 год
Рёло не является первооткрывателем этой фигуры, хотя он и подробно исследовал её. В частности, он рассматривал вопрос о том, сколько контактов (в кинематических парах) необходимо, чтобы предотвратить движение плоской фигуры, и на примере искривлённого треугольника, вписанного в квадрат, показал, что даже трёх контактов может быть недостаточно для того, чтобы фигура не вращалась[8].


Леонардо да Винчи, манускрипт A, фрагмент листа 15v
Некоторые математики считают, что первым продемонстрировал идею треугольника из равных дуг окружности Леонард Эйлер в XVIII веке[9]. Тем не менее, подобная фигура встречается и раньше, в XV веке: её использовал в своих рукописях Леонардо да Винчи. Треугольник Рёло есть в его манускриптах A и B, хранящихся в Институте Франции[10], а также в Мадридском кодексе[9].
Примерно в 1514 году Леонардо да Винчи создал одну из первых в своём роде карт мира. Поверхность земного шара на ней была разделена экватором и двумя меридианами (угол между плоскостями этих меридианов равен 90°) на восемь сферических треугольников, которые были показаны на плоскости карты треугольниками Рёло, собранными по четыре вокруг полюсов[11].
Ещё раньше, в XIII веке, создатели церкви Богоматери в Брюгге использовали треугольник Рёло в качестве формы для некоторых окон[9].
[править]Свойства

Треугольник Рёло является плоской выпуклой геометрической фигурой[12].
[править]Основные геометрические характеристики

Если ширина треугольника Рёло равна a, то его площадь равна[13]

периметр
p = πa,
радиус вписанной окружности

а радиус описанной окружности
.
[править]Симметрия
Треугольник Рёло обладает осевой симметрией. Он имеет три оси симметрии второго порядка, каждая из которых проходит через вершину треугольника и середину противоположной дуги, а также одну ось симметрии третьего порядка, перпендикулярную плоскости треугольника и проходящую через его центр[* 3]. Таким образом, группа симметрий треугольника Рёло состоит из шести отображений (включая тождественное) и совпадает с группой D3 симметрий правильного треугольника.
[править]Построение циркулем
Треугольник Рёло можно построить с помощью одного только циркуля, не прибегая к линейке. Это построение сводится к последовательному проведению трёх равных окружностей. Центр первой выбирется произвольно, центром второй может быть любая точка первой окружности, а центром третьей — любая из двух точек пересечения первых двух окружностей.
[править]Свойства, общие для всех фигур постоянной ширины
Поскольку треугольник Рёло является фигурой постоянной ширины, он обладает всеми общими свойствами фигур этого класса. В частности,
с каждой из своих опорных прямых треугольник Рёло имеет лишь по одной общей точке[14];
расстояние между двумя любыми точками треугольника Рёло ширины a не может превышать a[15];
отрезок, соединяющий точки касания двух параллельных опорных прямых к треугольнику Рёло, перпендикулярен к этим опорным прямым[16];
через любую точку границы треугольника Рёло проходит по крайней мере одна опорная прямая[17];
через каждую точку P границы треугольника Рёло проходит объемлющая его окружность радиуса a[* 4], причём опорная прямая, проведённая к треугольнику Рёло через точку P, является касательной к этой окружности[18];
радиус окружности, имеющей не меньше трёх общих точек с границей треугольника Рёло ширины a, не превышает a[19];
по теореме Ханфрида Ленца[de] о множествах постоянной ширины треугольник Рёло нельзя разделить на две фигуры, диаметр которых был бы меньше ширины самого треугольника[20][21];
треугольник Рёло, как и любую другую фигуру постоянной ширины, можно вписать в квадрат[22], а также в правильный шестиугольник[23];
по теореме Барбье формула периметра треугольника Рёло справедлива для всех фигур постоянной ширины[24][25][26].
[править]Экстремальные свойства
[править]Наименьшая площадь
Среди всех фигур постоянной ширины a у треугольника Рёло наименьшая площадь[1]. Это утверждение носит название теоремы Бляшке — Лебега[27][28] (по фамилиям немецкого геометра Вильгельма Бляшке, опубликовавшего теорему в 1915 году[29], и французского математика Анри Лебега, который сформулировал её в 1914 году[30]). В разное время варианты её доказательства предлагали Мацусабуро Фудзивара (1927 и 1931 год)[31][32], Антон Майер (1935 год)[33], Гарольд Эгглстон (1952 год)[34], Абрам Безикович (1963 год)[35], Дональд Чакериан (1966 год)[36], Эванс Харрелл (2002 год)[37] и другие математики[5].
Чтобы найти площадь треугольника Рёло, можно сложить площадь внутреннего равностороннего треугольника

и площадь трёх оставшихся одинаковых круговых сегментов, опирающихся на угол в 60°

то есть
[38]
Фигура, обладающая противоположным экстремальным свойством — круг. Среди всех фигур данной постоянной ширины его площадь

максимальна[39][* 5]. Площадь соответствующего треугольника Рёло меньше на ≈10,27 %. В этих пределах лежат площади всех остальных фигур данной постоянной ширины.
[править]Наименьший угол
Через каждую вершину треугольника Рёло, в отличие от остальных его граничных точек, проходит не одна опорная прямая, а бесконечное множество опорных прямых. Пересекаясь в вершине, они образуют «пучок». Угол между крайними прямыми этого «пучка» называется углом при вершине. Для фигур постоянной ширины угол при вершинах не может быть меньше 120°. Единственная фигура постоянной ширины, имеющая углы, равные в точности 120° — это треугольник Рёло[4].
[править]Наименьшая центральная симметрия


Треугольник Рёло (коричневый) и его образ при центральной симметрии относительно своего центра (заштрихован). Наибольшая центрально-симметричная фигура, в нём содержащаяся (криволинейный шестиугольник), и наименьшая центрально-симметричная, его содержащая (правильный шестиугольник) выделены жирной линией
Из всех фигур постоянной ширины треугольник Рёло обладает центральной симметрией в наименьшей степени[5][40][41][42][43]. Существует несколько различных способов дать определение степени симметричности фигуры. Один из них — это мера Ковнера — Безиковича. В общем случае для выпуклой фигуры C она равна

где μ — площадь фигуры, A — содержащаяся в C центрально-симметричная выпуклая фигура максимальной площади. Для треугольника Рёло такой фигурой является шестиугольник с искривлёнными сторонами, представляющий собой пересечение этого треугольника Рёло со своим образом при центральной симметрии относительно своего центра[* 3]. Мера Ковнера — Безиковича для треугольника Рёло равна
[5][40]
Другой способ — это мера Эстерманна

где B — содержащая C центрально-симметричная фигура минимальной площади. Для треугольника Рёло B — это правильный шестиугольник, поэтому мера Эстерманна равна
[5][36]
Для центрально-симметричных фигур меры Ковнера — Безиковича и Эстерманна равны единице. Среди фигур постоянной ширины центральной симметрией обладает только круг[25], который (вместе с треугольником Рёло) и ограничивает область возможных значений их симметричности.
[править]Качение по квадрату


Качение треугольника Рёло по квадрату
Любая фигура постоянной ширины вписана в квадрат со стороной, равной ширине фигуры, причём направление сторон квадрата может быть выбрано произвольно[22][* 6]. Треугольник Рёло — не исключение, он вписан в квадрат и может вращаться в нём, постоянно касаясь всех четырёх сторон[44].
Каждая вершина треугольника при его вращении «проходит» почти весь периметр квадрата, отклоняясь от этой траектории лишь в углах — там вершина описывает дугу эллипса. Центр этого эллипса расположен в противоположном углу квадрата, а его больша́я и малая оси повёрнуты на угол в 45° относительно сторон квадрата и равны

где a — ширина треугольника[45]. Каждый из четырёх эллипсов касается двух смежных сторон квадрата на расстоянии

от угла[38].
	
Эллипс (выделен красным цветом), очерчивающий один из углов фигуры (её граница выделена чёрным цветом), которую покрывает треугольник Рёло при вращении в квадрате
Угол покрываемой вращением фигуры. Подписаны точки касания сторон квадрата с эллипсом. Светло-жёлтым показан не затронутый вращением угол квадрата
Центр треугольника Рёло при вращении движется по траектории, составленной из четырёх одинаковых дуг эллипсов. Центры этих эллипсов расположены в вершинах квадрата, а оси повёрнуты на угол в 45° относительно сторон квадрата и равны
[45].
Иногда для механизмов, реализующих на практике такое вращение треугольника, в качестве траектории центра выбирают не склейку из четырёх дуг эллипсов, а близкую к ней окружность[46].
	
Эллипс (выделен красным цветом), очерчивающий одну четвёртую кривой, по которой движется центр треугольника Рёло при вращении в квадрате
Траектория центра треугольника Рёло при вращении в квадрате. Выделены точки сопряжения четырёх дуг эллипсов. Для сравнения показана окружность (синим цветом), проходящая через эти же четыре точки
Площадь каждого из четырёх не затронутых вращением уголков равна
[47]
и, вычитая их из площади квадрата, можно получить площадь фигуры, которую образует треугольник Рёло при вращении в нём
[38][47][48]
Разница с площадью квадрата составляет ≈1,2 %, поэтому на основе треугольника Рёло создают свёрла, позволяющие получать почти квадратные отверстия[45].
[править]Применение

[править]Сверление квадратных отверстий
«Мы все слыхали о гаечных ключах, приспособленных для гаек с левой резьбой, завязанных в узел водопроводных трубах и бананах из чугуна. Мы считали подобные вещи смешными безделушками и отказывались даже верить, что они когда-нибудь встретятся нам в действительности. И вдруг появляется инструмент, позволяющий сверлить квадратные отверстия!»
рекламная листовка фирмы
Watts Brothers Tool Works[49][* 7]
Сверло с сечением в виде треугольника Рёло и режущими кромками, совпадающими с его вершинами, позволяет получать почти квадратные отверстия. Отличие таких отверстий от квадрата состоит лишь в немного скруглённых углах[50]. Другая особенность подобного сверла заключается в том, что его центр при вращении не остаётся на месте, как это происходит в случае традиционных спиральных свёрл, а описывает кривую, состоящую из четырёх дуг эллипсов. Поэтому патрон, в котором зажато сверло, не должен препятствовать этому движению[45].
Впервые сделать подобную конструкцию удалось Гарри Уаттсу, английскому инженеру, работавшему в США. Для сверления он использовал направляющий шаблон с квадратной прорезью, в котором двигалось сверло, вставленное в «плавающий патрон»[50]. Патенты на патрон[51] и сверло[52] были получены Уаттсом в 1917 году. Продажу новых дрелей осуществляла фирма Watts Brothers Tool Works[en][53][54]. Ещё один патент США на похожее изобретение был выдан в 1978 году[55].
[править]Двигатель Ванкеля


Схема работы двигателя Ванкеля
Другой пример использования можно найти в двигателе Ванкеля: ротор этого двигателя выполнен в виде треугольника Рёло[6]. Он вращается внутри камеры, поверхность которой выполнена по эпитрохоиде[56]. Вал ротора жёстко соединён с зубчатым колесом, которое сцеплено с неподвижной шестернёй. Такой трёхгранный ротор обкатывается вокруг шестерни, всё время касаясь вершинами внутренних стенок двигателя и образуя три области переменного объёма, каждая из которых по очереди является камерой сгорания[6]. Благодаря этому двигатель выполняет три полных рабочих цикла за один оборот.
Двигатель Ванкеля позволяет осуществить любой четырёхтактный термодинамический цикл без применения механизма газораспределения. Смесеобразование, зажигание, смазка, охлаждение и пуск в нём принципиально такие же, как у обычных поршневых двигателей внутреннего сгорания[56].
[править]Грейферный механизм


Рамочно-кулачковый грейферный механизм кинопроектора «Луч-2»
Ещё одно применение треугольника Рёло в механике — это грейферный механизм, осуществляющий покадровое перемещение плёнки в кинопроекторах. Грейфер проектора «Луч-2», например, основан на треугольнике Рёло, который вписан в рамку-квадрат и закреплён на двойном параллелограмме. Вращаясь вокруг вала привода, треугольник двигает рамку с расположенным на ней зубом. Зуб входит в перфорацию киноплёнки, протаскивает её на один кадр вниз и выходит обратно, поднимаясь затем к началу цикла. Его траектория тем ближе к квадрату, чем ближе к вершине треугольника закреплён вал (идеально квадратная траектория позволила бы проецировать кадр в течение ¾ цикла)[6][57][58].
Существует и другая конструкция грейфера, также основанная на треугольнике Рёло. Как и в первом случае, рамка этого грейфера совершает возвратно-поступательное движение, однако её двигает не один, а два кулачка, работа которых синхронизирована с помощью зубчатой передачи[28].
[править]Крышки для люков
В форме треугольника Рёло можно изготавливать крышки для люков — благодаря постоянной ширине они не могут провалиться в люк[59]. В Сан-Франциско подобные крышки используются для системы рекуперирования воды[en][60].
[править]Кулачковый механизм
 Внешние изображения
Кулачковые механизмы на основе треугольника Рёло
	Модели L01[61], L02[62] и L06[63] из коллекции механизмов Франца Рёло
Треугольник Рёло использовался в кулачковых механизмах некоторых паровых двигателей начала XIX века. В этих механизмах вращательное движение кривошипа поворачивает треугольник Рёло, прикреплённый к толкателю передаточными рычагами, что заставляет толкатель совершать возвратно-поступательное движение[64]. По терминологии Рёло, это соединение образует «высшую» кинематическую пару, поскольку контакт звеньев происходит по линии, а не по поверхности[65]. В подобных кулачковых механизмах толкатель при достижении крайнего правого или левого положения остаётся некоторое конечное время неподвижен[64][10].
В качестве кулачка треугольник Рёло использовали немецкие часовые мастера в механизме наручных часов A. Lange & Söhne «Lange 31»[66].
[править]Каток


Катки с сечением в виде круга и треугольника Рёло. Немецкий технический музей


Плектр Джонни Рамона
Для перемещения тяжёлых предметов на небольшие расстояния можно использовать не только колёсные, но и более простые конструкции, например, цилиндрические катки[67]. Для этого груз нужно расположить на плоской подставке, установленной на катках, а затем толкать его. По мере освобождения задних катков их необходимо переносить и класть спереди[68][67]. Такой способ транспортировки человечество использовало до изобретения колеса.
При этом перемещении важно, чтобы груз не двигался вверх и вниз, так как тряска потребует дополнительных усилий от толкающего[68]. Для того, чтобы движение по каткам было прямолинейным, их сечение должно представлять собой фигуру постоянной ширины[68][69]. Чаще всего сечением был круг, ведь катками служили обыкновенные брёвна. Однако сечение в виде треугольника Рёло будет ничуть не хуже и позволит передвигать предметы столь же прямолинейно[6][68].
Несмотря на то, что катки в форме треугольника Рёло позволяют плавно перемещать предметы, такая форма не подходит для изготовления колёс, поскольку треугольник Рёло не имеет фиксированной оси вращения[70].
[править]Плектр
Треугольник Рёло — распространённая форма плектра (медиатора): тонкой пластинки, предназначенной для приведения в состояние колебания струн щипковых музыкальных инструментов.
[править]Треугольник Рёло в искусстве

[править]Архитектура
Форма треугольника Рёло используется и в архитектурных целях. Конструкция из двух его дуг образует характерную для готического стиля стрельчатую арку, однако целиком он встречается в готических сооружениях довольно редко[71][72]. Окна в форме треугольника Рёло можно обнаружить в церкви Богоматери в Брюгге[9], а также в шотландской церкви в Аделаиде[72]. Как элемент орнамента он встречается на оконных решётках цистерцианского аббатства в швейцарской коммуне Отрив[fr][71].
Треугольник Рёло используют и в архитектуре, не принадлежащей к готическому стилю. Например, построенная в 2006 году в Кёльне 103-метровая башня под названием «Кёльнский треугольник[de]» в сечении представляет собой именно эту фигуру[73].
stdout
copy 
Standard output is empty
https://ideone.com/rlder5
language:
Perl (perl 5.28.1)
created:
13 days ago
visibility:
public

Share or Embed source code

Discover > Sphere Engine API

The brand new service which powers Ideone!

Discover > IDE Widget

Widget for compiling and running the source code in a web browser!