=begin
【解答】
166,200,250,333,400,500,600,666,750,800,833
 
【感想・工夫した点など】
何度か試行錯誤しましたが、ほぼストレートで解答にたどり着けたと思います。
想定時間の30分程度で解答が出せました。
解答の数列ですが、下記に現れる数値のように思います。
ただ、1000 が含まれていないのがちょっと気になります。
 
1000/6,1000/5,1000/4,1000/3,1000/2,1000/1
166,   200,   250,   333,   500,   1000
 
2000/6,2000/5,2000/4,2000/3,2000/2
333,   400,   500,   666,   1000
 
3000/6,3000/5,3000/4,3000/3
500,   600,   750,   1000
 
4000/6,4000/5,4000/4
666,   800,   1000
 
5000/6,5000/5
833,   1000
 
6000/6
1000
 
※値は切り捨て
 
 
【言語と処理系】
ruby 1.9.3
 
【ソースコード】
=end
 
# ファイルから問題を読み込む
def load_problems(filename)
  problems = File.open(filename, "r"){ |f|
    f.map{ |line| line.strip.split(' ') }
  }
  return problems
end
 
 
problems = load_problems("data.txt")
 
wrong_id =[]
problems.each do |problem|
  id = problem[0]
  vertex_num = problem[1].to_i
  vertexes = problem[2].split(",")
  answer = problem[3].to_i
 
  patterns = []
  triangles = vertexes.combination(3).to_a
  triangles.each do |triangle|
    # 隣の頂点との距離（2つの頂点で挟まれる等分された円弧の数）を求める
    # 3つの距離の組（順番を考慮する）をpatternに格納する
    # 頂点がアルファベットの文字で表されているので、ASCIIコードを利用する
    pattern = []
    (0...2).each do |i|
      pattern << (triangle[i+1].ord - triangle[i].ord) % vertex_num
    end
    pattern << (triangle[0].ord - triangle[2].ord + vertex_num) % vertex_num
    # pattarnの先頭が最小値になるように距離の組のローテーションを行う
    # これにより、同じパターンにそろえることができる
    min = pattern.min
    while pattern.uniq.length != 1 && (pattern[0] != min || pattern[-1] == min)
      pattern = pattern[1..-1] + [pattern[0]]  
    end
    patterns << pattern
  end
  if answer != patterns.uniq.length
    wrong_id << id
  end
end
 
puts wrong_id.join(",")
 

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